Catatan Kuliah Persamaan Diferensial - Minggu 2: Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

Pendahuluan

Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 1 merupakan fondasi dalam mempelajari persamaan diferensial. Pada minggu ini, kita akan membahas berbagai teknik analitik, yang meliputi metode persamaan separabel, persamaan eksak, dan penggunaan faktor integrasi.

Materi Utama

Persamaan Diferensial Separabel

Sebuah PDB orde 1 dikatakan separabel (dapat dipisahkan) jika dapat ditulis dalam bentuk: $$ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $$ Pisahkan variabel \(x\) dengan \(dx\) dan variabel \(y\) dengan \(dy\), kemudian integralkan kedua ruas: $$ \int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx + C $$

Persamaan Diferensial Eksak

Bentuk \(M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0\) disebut eksak jika: $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$

Penyelesaian PD Eksak Langkah-demi-Langkah

Selesaikan: \((2xy)dx + (x^2 - 1)dy = 0\)

Langkah 1: Uji Eksak \(M = 2xy \implies \frac{\partial M}{\partial y} = 2x\). \(N = x^2 - 1 \implies \frac{\partial N}{\partial x} = 2x\). Karena sama, maka persamaannya Eksak.

Langkah 2: Cari fungsi Potensial \(F(x,y)\) \(F(x,y) = \int M \, dx = \int 2xy \, dx = x^2 y + g(y)\).

Langkah 3: Turunkan terhadap \(y\) dan samakan dengan \(N\) \(\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + g'(y)\). Samakan: \(x^2 + g'(y) = x^2 - 1 \implies g'(y) = -1\). Maka \(g(y) = \int -1 \, dy = -y\).

Langkah 4: Tulis Solusi Umum Solusi: \(F(x,y) = C \implies x^2 y - y = C\).

Persamaan Linear dan Faktor Integrasi

Bentuk umum: \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\). Faktor integrasi adalah \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\).

Penyelesaian dengan Faktor Integrasi

Selesaikan PDB Rangkaian RL: \(L\frac{di}{dt} + Ri = V_0\). Ubah ke bentuk standar: \(\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}i = \frac{V_0}{L}\).

Langkah 1: Tentukan Faktor Integrasi \(P(t) = \frac{R}{L} \implies \mu(t) = e^{\int \frac{R}{L} dt} = e^{\frac{R}{L}t}\).

Langkah 2: Kalikan ruas dengan \(\mu(t)\) \(e^{\frac{R}{L}t} \frac{di}{dt} + \frac{R}{L} e^{\frac{R}{L}t} i = \frac{V_0}{L} e^{\frac{R}{L}t}\). Bagian kiri adalah turunan dari \(i \cdot e^{\frac{R}{L}t}\).

Langkah 3: Integrasikan \(i \cdot e^{\frac{R}{L}t} = \int \frac{V_0}{L} e^{\frac{R}{L}t} dt = \frac{V_0}{L} \frac{L}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C = \frac{V_0}{R} e^{\frac{R}{L}t} + C\). Maka \(i(t) = \frac{V_0}{R} + C e^{-\frac{R}{L}t}\). (Bandingkan hasil analitik ini dengan output komputasi di Simulasi_Transien_RC_RL.ipynb!)

Ringkasan

Persamaan eksak diselesaikan menggunakan fungsi potensial \(F(x,y)\). Persamaan linear diselesaikan dengan faktor integrasi \(\mu(x) = e^{\int P(x) dx}\).

Referensi

- Erwin Kreyszig, *Advanced Engineering Mathematics*.
- `Simulasi_Transien_RC_RL.ipynb` (Praktikum Komputasi).