Modul 4: Persamaan Diferensial Biasa Orde 2 Linier Homogen

Pendahuluan

Persamaan Diferensial Orde 2 banyak muncul dalam pemodelan sistem dinamik yang memiliki elemen penyimpan energi ganda, seperti rangkaian RLC pada Teknik Elektro maupun sistem massa-pegas pada mekanika. Pada minggu ini, kita akan berfokus pada Persamaan Diferensial Biasa (PDB) Orde 2 Linier Homogen dengan Koefisien Konstan. Pemahaman terhadap metode persamaan karakteristik menjadi kunci untuk menganalisis respons natural dari sistem orde dua.

Materi Utama

Bentuk Umum

Bentuk umum PDB Orde 2 Linier dengan Koefisien Konstan adalah:

\[ a \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + cy = f(x) \]

Jika \(f(x) = 0\), maka persamaan disebut Homogen. Sehingga bentuk PDB linier orde 2 homogen adalah:

\[ ay'' + by' + cy = 0 \]

dengan \(a, b, c\) adalah konstanta real dan \(a \neq 0\).

Persamaan Karakteristik

Solusi untuk PDB jenis ini dicari dalam bentuk fungsi eksponensial \(y = e^{rx}\). Dengan mensubstitusikan \(y\), \(y' = re^{rx}\), dan \(y'' = r^2e^{rx}\) ke persamaan asli, kita dapatkan:

\[ a(r^2e^{rx}) + b(re^{rx}) + c(e^{rx}) = 0 \]

\[ e^{rx} (ar^2 + br + c) = 0 \]

Karena \(e^{rx} \neq 0\) untuk setiap nilai \(x\), maka haruslah:

\[ ar^2 + br + c = 0 \]

Persamaan kuadrat ini disebut Persamaan Karakteristik (atau Persamaan Pembantu). Akar-akar dari persamaan karakteristik (\(r_1\) dan \(r_2\)) menentukan bentuk solusi umum.

Tiga Kasus Solusi Umum

Diskriminan dari persamaan karakteristik adalah \(D = b^2 - 4ac\). Terdapat tiga kasus solusi tergantung nilai \(D\):

Kasus I: Dua Akar Real dan Berbeda (\(D > 0\))
Jika \(r_1 \neq r_2\) dan keduanya adalah bilangan real, maka basis solusinya adalah \(y_1 = e^{r_1x}\) dan \(y_2 = e^{r_2x}\). Solusi umum:

\[ y(x) = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \]

(Dalam analisis rangkaian RLC, kondisi ini bersesuaian dengan sistem overdamped).

Kasus II: Akar Kembar / Real Sama (\(D = 0\))
Jika \(r_1 = r_2 = r\), maka solusi basisnya adalah \(y_1 = e^{rx}\) dan agar linier independen, solusi kedua dikalikan \(x\), menjadi \(y_2 = x e^{rx}\). Solusi umum:

\[ y(x) = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx} = (C_1 + C_2 x) e^{rx} \]

(Kondisi ini bersesuaian dengan sistem critically damped).

Kasus III: Akar Kompleks Konjugat (\(D < 0\))
Jika akar-akar tersebut kompleks berbentuk \(r_1 = \alpha + i\beta\) dan \(r_2 = \alpha - i\beta\) dengan \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) dan \(\beta = \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}\). Menggunakan identitas Euler (\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)), solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk sinus dan kosinus beramplitudo eksponensial. Solusi umum:

\[ y(x) = e^{\alpha x} (C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x) \]

(Kondisi ini bersesuaian dengan sistem underdamped, menunjukkan osilasi yang meluruh jika \(\alpha < 0\)).

Contoh:

Tentukan solusi umum PDB: \(y'' + 5y' + 6y = 0\)
Penyelesaian:
Persamaan karakteristik: \(r^2 + 5r + 6 = 0\)
Faktorisasi: \((r+2)(r+3) = 0 \implies r_1 = -2, r_2 = -3\)
Karena \(r_1 \neq r_2\) real (Kasus I), maka solusi umumnya adalah:

\[ y(x) = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-3x} \]

Ringkasan

Penyelesaian PDB Orde 2 Linier Homogen dengan Koefisien Konstan didasarkan pada pencarian akar-akar dari Persamaan Karakteristik \(ar^2 + br + c = 0\). Bentuk solusi umum dijamin secara eksklusif jatuh ke dalam tiga kasus: akar real berbeda (sistem overdamped), akar kembar (sistem critically damped), atau akar kompleks konjugat (sistem underdamped).

Referensi

• Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons.
• Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, Cengage Learning.